【elegant teatime】代数学の基本定理 (2) 【第 2 話】

静香の証明

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$f(z)=z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_n$ とおくね。$f(z)=0$ をみたす $z$ が存在することを証明するよ。

$f(z)$ の偏角に応じて、$z$ に色を決めるね。$-\pi<\arg z\le -\frac{\pi}{3}$ のとき赤、$-\frac{\pi}{3}<\arg z\le \frac{\pi}{3}$ のとき緑、$\frac{\pi}{3}<\arg z\le \pi$ のとき緑にするよ。0 はどれでもいいけど、とりあえず赤にするね。

それで、この補題を使うよ。

いま、大きな円を考えて、この円に内接する多角形をとって、三角形分割するよ。十分大きい円なら、反時計回りに一周すると $f(z)$ は $n$ 回転することになる。ここはもう少し慎重に考えた方がよさそうだけど、省略するね～。

円周上にある頂点が十分多いなら、反時計回りに一周したときの色の変化が赤→緑→青→赤→…、という感じで $n$ 周する。だから index は $n$ になる。

補題を使うと content も $n$ になるから、特に赤・緑・青の三角形が存在するよ。

三角形分割をどんどん細かくしていくと、どんどん小さくなる三色三角形の列がとれるね。ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理を使うと収束部分列が存在することがわかって、収束先が $f(z)=0$ をみたす点だということがわかる。

はい、これで証明おしまい～。

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桜子の発表

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$n=2^km$ ($m$ は奇数) と表したときの、$k$ に関する帰納法で証明します。$k=0$ のとき、つまり $n$ が奇数のときは、奇数次の多項式は実数根をもつのでよいです。中間値の定理を使うものでしたね……。

$n$ 次多項式 $f(z)$ の分解体 $F$ をとります。$F$ 上で $f(z)=a(z-z_1)\cdots (z-z_n)$ となります。ここで実数 $t$ に対して

$$g_t(z)=\prod_{1\le i<j\le n}(z-z_i-z_j-tz_iz_j)$$

とおきます。この多項式の次数は $n(n-1)/2$ で、2 で割れる回数が $k-1$ 回なので、帰納法の仮定が使えます。つまり $g_t(z)$ に複素数根が存在します。さらに言い換えると、$z_i+z_j+tz_iz_j$ が複素数となるような $i,j$ が存在します。

ここで $t$ を動かします。$t_1\ne t_2$ としたとき、$z_i+z_j+t_1z_iz_j, z_i+z_j+t_2z_iz_j$ が同時に複素数となるような $i,j$ が存在します。$(i,j)$ の個数より実数の方が多いので当たり前ですね……。

ここから、$z_i+z_j$ と $z_iz_j$ が複素数となることがわかります。$z^2-(z_i+z_j)z+z_iz_j$ は 2 次多項式で、これが複素数の根をもつことは簡単に確かめられるので、$z_i,z_j$ は複素数です。

これで $f(z)$ が複素数の根をもつことが確かめられました……。

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登場人物紹介

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江晩桜子 (えばんさくらこ)。家族が本屋を営んでいた。古本を集めるのが趣味。

参考文献

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• Henle, Michael. A Combinatorial Introduction to Topology.
• 【月刊組合せ論 Natori】Brouwer の不動点定理と Sperner の補題【2025 年 11 月号】
• Fundamental theorem of algebra (Wikipedia)