【elegant teatime】代数学の基本定理 (1) 【第 1 話】

お屋敷

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証明の鑑賞会

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素子の証明

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それでは、まずは発案者であるわたくしから発表いたします。

代数学の基本定理とは、複素数係数の $n$ 次多項式 $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ は必ず複素数の根をもつという定理です。

この定理を複素解析を用いて証明いたします。こちらの証明は有名なものだと思われます。

まずはリュービルの定理について復習いたしましょう。リュービルの定理というのは、有界な整関数は定数であるというものでした。

証明は背理法で行います。$P(z)=0$ が解をもたないと仮定しましょう。すると、$\frac{1}{P(z)}$ は整関数になります。そして

$$\frac{1}{|P(z)|}=\frac{1}{|z|^n}\frac{1}{|a_n+a_{n-1}\frac{1}{z}+\cdots+a_0\frac{1}{z^n}|}\to 0 \quad (n\to\infty)$$

となりますから、$\frac{1}{P(z)}$ は有界です。するとリュービルの定理よりこれは定数ということになってしまいます。

これで証明は完了です。

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芽衣の証明

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オレは線形代数を使う証明を持ってきたぜ！

代数学の基本定理は、複素数成分の正方行列が必ず複素数の固有値をもつってことと同値になる！だからこれを示す！

まずは $n$ を奇数とする。$\mathcal{H}_n$ を $M=M^*$ をみたす $n$ 次行列、つまりエルミート行列の集合とする！$M^*$は共役転置だ。$\mathcal{H}_n$ は実線形空間で、$n^2$ 次元だってことがわかる。つまり奇数次元だ。

行列 $C$ は

$$C=\frac{C+C^*}{2}+i\frac{C-C^*}{2i}$$

の形に書けて、$(C+C^*)/2$ と $(C-C^*)/(2i)$ はエルミート行列だ。$A$ を $n$ 次行列として、$\mathcal{H}_n$ から $\mathcal{H}_n$ への線形写像 $f_1,f_2$ を

$$f_1(B)=\frac{AB+BA^*}{2}, f_2(B)=\frac{AB-BA^*}{2i}$$

と定める！$B\in\mathcal{H}_n$ だから $(AB)^*=B^*A^*=BA^*$ だ。そうすると、$f_1\circ f_2=f_2\circ f_1$ が成り立つ！

ここで、$f_1,f_2\colon V\to V$ がこれをみたして、$V$ が奇数次元の実線形空間なら、$f_1,f_2$ は共通の固有ベクトルをもつことが帰納法で示せる！

だからある $B$ が存在して $f_1(B)=\lambda_1B, f_2(B)=\lambda_2B$ になる。よって $AB=(\lambda_1+i\lambda_2)B$ になる！これは $\lambda_1+i\lambda_2$ が $A$ の固有値であるってことだ！

これで奇数次元の場合ができた！一般の次元の場合は 2 で割れる回数の帰納法で示せるらしい！

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登場人物紹介

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主晴素子（おもはれ　もとこ）。いわゆるお嬢様。家庭の影響で美術品に興味を持っていたが、数学の証明も似たようなものであることに気がつき、証明の鑑賞会をするようになった。