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組合せ論、楽しい！

【月刊組合せ論 Natori】ヤング図形の束と differential poset【2025 年 2 月号】

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箱星
著者
箱星
のんびり暮らしたい。
目次

月刊組合せ論 Natori は面白そうな組合せ論のトピックを紹介していく企画です。今回はヤング図形の束を見ていきましょう。

不思議な等式
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ヤング図形 λ\lambda 上の標準タブローの個数を fλf_{\lambda} とします。このとき

n!=∑λ∈Par(n)(fλ)2 n!=\sum_{\lambda\in\mathrm{Par}(n)}(f_{\lambda})^2

が成り立ちます。これは不思議な等式で、多くの数学者を魅了してきました。

この等式の解釈はいくつかあります。有名なものはロビンソン・シェンステッド対応です。これは長さ nn の順列と、サイズ nn の同じ形の標準タブローの組との間の全単射です。個数を比較することで上の等式が導出されます。

ここでは別の方法で上の等式を解釈します。

ヤング図形の束
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ヤング図形の束、ヤング束を紹介します。

ヤング図形 μ\mu に箱をいくつか加えることで新しいヤング図形 λ\lambda を得たとき、μ≤λ\mu\le\lambda とします。これによりヤング図形全体は poset となります。さらに束 (lattice) になります。これをヤング束といいます。図にすると次のようになります。

image

(Wikipedia より)

ヤング図形の形式的な和からなる空間を考えます。U(λ)U(\lambda) を λ\lambda に箱を 1 個付け加えることで得られるヤング図形の和とします。例えば U((2,1))=(3,1)+(2,2)+(2,1,1)U((2,1))=(3,1)+(2,2)+(2,1,1) です。また、D(λ)D(\lambda) を λ\lambda から箱を 1 個取り除くことで得られるヤング図形の和とします。例えば D((2,1,1))=(2,1)+(1,1,1)D((2,1,1))=(2,1)+(1,1,1) です。U,DU,D を線形作用素だと思うと、次の式が成り立ちます。

命題: DU−UD=IDU-UD=I が成り立つ。ここで II は恒等写像である。

証明するには、ヤング図形の角に注目します。

image

(赤い丸の個数)-(青い丸の個数)=1 であることを用いると、上の命題が証明できます。そしてこれはマヤ図形を考えればわかります。

いま、DnUn∅D^nU^n\emptyset を考えます。∅\emptyset に UU を nn 回適用することは、1 個ずつ箱を加えることで得られるヤング図形の列 ∅→λ(1)→⋯→λ(n)\emptyset\to\lambda^{(1)}\to\cdots\to\lambda^{(n)} を考えることに対応します。これは標準タブローを考えることと同じです。よって

Un∅=∑λ∈Par(n)fλλ U^n\emptyset=\sum_{\lambda\in\mathrm{Par}(n)}f_{\lambda}\lambda

です。同様に DnλD^n\lambda は λ\lambda から 1 個ずつ箱を除くことに対応するので、これも標準タブローと同じです。よって

DnUn∅=∑λ∈Par(n)(fλ)2∅ D^nU^n\emptyset=\sum_{\lambda\in\mathrm{Par}(n)}(f_{\lambda})^2\emptyset

が得られました。

一方、DU−UD=IDU-UD=I と D∅=0D\emptyset=0 を用いた計算により

DnUn∅=n!∅ D^nU^n\emptyset=n!\emptyset

が示せます。これにより最初にあげた等式の証明が得られました。

differential poset
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Stanley はこのような性質をもつ poset を研究しました。

一般の poset PP において、yy が xx をカバーするとは、x<yx<y であり、かつ x<z<yx<z<y をみたす zz が存在しないことをいいます。U(x)U(x) を xx をカバーするような yy の和、D(y)D(y) を yy がカバーするような xx の和とします。

poset PP が differential poset であるとは

  • PP は ∅\emptyset をもつ locally finite, graded poset である。
  • DU−UD=IDU-UD=I

をみたすことをいいます。ヤング束は differential poset です。

他の例として、ヤング・フィボナッチ束があります。扱う対象は 1,2 からなる数列で、yy が xx をカバーするという関係を

  • xx の左端の 1 を 2 に変えたものが yy である、または
  • xx の左端の 1 よりも左に 1 を挿入したものが yy である（xx が 1 を含まないときはどこに挿入してもよい）

により定めます。

image

(Wikipedia より)

ヤング・フィボナッチ束も differential poset です。このことから、∅\emptyset から xx への経路の個数を gxg_x とおくとき

n!=∑x,sum(x)=n(gx)2 n!=\sum_{x,\mathrm{sum}(x)=n}(g_x)^2

という式が成り立ちます。

この式をロビンソン・シェンステッド対応のように解釈できないか、と考えたくなりますね。実際に、順列とヤング・フィボナッチタブローと呼ばれるものの組との間の全単射を構成することができます。

r-differential poset
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rr を正の整数として、DU−UD=IDU-UD=I を DU−UD=rIDU-UD=rI に置き換えたものを rr-differential poset といいます。この場合、DnUn∅=rnn!D^nU^n\emptyset=r^nn! となることが示せます。

n!n! は対称群の位数でしたが、2nn!2^nn! は超八面体群の位数です。対称群、超八面体群はそれぞれ AA 型、BCBC 型のワイル群です。さらに r≥3r\ge 3 のとき rnn!r^nn! はある複素鏡映群の位数となります。

この場合にロビンソン・シェンステッド対応にあたるものを考えてみませんか？

おわりに
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最初にあげた等式やロビンソン・シェンステッド対応は本当に不思議なもので、その魅力はまだまだ尽きません。そのようなことを今後も発信できればと思います。

参考文献
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  • 山田裕史, 組合せ論トレイル, 日本評論社, 2024.
  • Stanley, Richard P. Enumerative combinatorics. Volume 1. Cambridge University Press.
  • Nzeutchap, Janvier. Young-Fibonacci insertion, tableauhedron and Kostka numbers. J. Comb. Theory, Ser. A 116, No. 1, 143-167 (2009).