【いーしー部！】二項係数はすごい！【しーずん１！その２】

では早速、数え上げの問題を解いてみましょう。

2 つの問題はどう違うんだろう。

具体例で考えてみましょう。10 人の中から 3 人を選ぶ方法を考えます。1 人目に金メダル、2 人目に銀メダル、3 人目に銅メダルをあげるとき、選ぶ順番が大事ですね。

いおりは金メダルがほしいの！

選ぶ順番が大事なのが 1 つ目の問題です。2 つ目の問題は、3 人に同じメダルをあげるという状況を考えればいいですね。選ぶ順番は関係ありません。

なるほど。

いおりわかったの！金メダルは 10 人の中のだれか、銀メダルは残りの 9 人の中のだれか、銅メダルは残りの 8 人の中のだれかだから、$10 \times 9 \times 8$ 通りなの！

正解です。720 通りですね。

難しそうだね。

じゃあヒントです。さっきの 720 通りの別の方法で数えてみましょう。さっきの方法と新しい方法を並べるとこうなります。

区別せずに選ぶ方法の数がわからないの……。

わからないので、それを $x$ とおいてみましょう。3 人の順番の数はわかりますか？

それはわかるの！$3\times 2\times 1=6$ なの！

そうです。すると、新しい方法で求めると $6x$ 通りになりますね。

これがさっきの 720 に等しいってことは、$6x=720$ なんじゃない？

わかったの！$x=120$ なの！

正解です！

今は具体例で計算しましたけど、まったく同じ考え方で $n,k$ という文字を含んだ答えもわかります。1 つ目の答えが $n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)$ で、2 つ目の答えがこうなります。

数式がわからなくなったら具体例を試してみてください。$n=10, k=3$ にするとさっきの答えになりますよ。この $\binom{n}{k}$ は二項係数といいます。これからいっぱい出てきますから、ぜひ覚えてください。