【いーしー部！】数え上げってなんだろう？【しーずん１！その１】

くみあラボへようこそ！

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早稲くみあは石浦いおりと椎木しいなの 2 人を自宅に招待した。くみあの自宅は VTuber 活動のために大きく改装してあり、設備が充実している。もちろん、組合せ論の本もたくさん置かれている。

EC を読もう

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いおりとしいなは図書館で借りた Enumerative Combinatorics (EC) を持参した。なお、くみあも同じ本を持っている。

数え上げってなんだろう？

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3 人は EC を眺める。英語と数式がびっしりと書かれており、いおりとしいなは難しくて再び諦めそうになる。そこで、くみあがサポートを入れる。

くみあは数え上げでどのような問題を扱うのかを説明する。例えば、3 人が一列に並ぶ方法の数、5 人が一列に並ぶ方法の数といった問題がある。これを一般化すると、$n$ 人が一列に並ぶ方法の数を求める問題になる。

この問題の答えは $n\times (n-1)\times \cdots\times 2\times 1$ 通りである。省略して $n!$ と書くこともある。

このように、数え上げの問題はあるものの個数を求める問題といえる、とくみあは説明した。

くみあは例としてフィボナッチ数列を紹介する。$n$ 段ある階段を、1 段または 2 段上ることを繰り返して上る。上り方は何通りあるかという問題である。

$n$ 段の階段の上り方の個数を $a_n$ とおくと、$a_1=1, a_2=2$ かつ $a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$ という公式がある。もう 1 つの公式は

$$a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)$$

である。

2 人の意見が分かれていることからも、数え上げ問題には様々な観点があり、それだけ奥深いということを示唆している。

いおりとしいなの 2 人は目を輝かせている。数え上げを探究したいという気持ちがますます高まっている。